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Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.

• Definitionen

• Monogenes Signal

• Riesz-Transformation

• Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation

• Zerlegung in Phase und Amplitude

• Anwendung in der Bildanalyse

• Literatur

• Software

Es sei d eine natürliche Zahl und f ∈ ∈ L 2 ( R d ) {\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})} eine Funktion. Dann ist das monogene Signal f M {\displaystyle f_{M}} definiert durch

f M := ( f , R 1 f , … … , R d f ) , {\displaystyle f_{M}:=(f,R_{1}f,\ldots ,R_{d}f),}

wobei R j , j = 1 , … … , d {\displaystyle R_{j},j=1,\ldots ,d} die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, j = 1 , … … , d , {\displaystyle j=1,\ldots ,d,} der Riesz-Transformation R j {\displaystyle R_{j}} ist definiert durch

R j f ( x ) := c d lim ϵ ϵ → → 0 ∫ ∫ 0 < ϵ ϵ ≤ ≤ | y | y j | y | d + 1 f ( x − − y ) d y {\displaystyle R_{j}f(x):=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{0<\epsilon \leq \left|y\right|}{\frac {y_{j}}{\left|y\right|^{d+1}}}f(x-y)\,\mathrm {d} y}

mit

c d = Γ Γ ( d + 1 2 ) π π ( d + 1 ) / 2 , {\displaystyle c_{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {d+1}{2}}\right)}{\pi ^{(d+1)/2}}},}

wobei Γ Γ {\displaystyle \Gamma } die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten R j {\displaystyle R_{j}}

R f ( x ) := ( R 1 f ( x ) , … … , R d f ( x ) ) . {\displaystyle Rf(x):=(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x)).}

Für d = 1 {\displaystyle d=1} ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation H {\displaystyle {\mathcal {H}}} und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.

( f ( x ) , R 1 f ( x ) ) = f ( x ) + i R 1 f ( x ) = f ( x ) + i H f ( x ) {\displaystyle \left(f(x),R_{1}f(x)\right)=f(x)+iR_{1}f(x)=f(x)+i{\mathcal {H}}f(x)}

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude A {\displaystyle A} ist in diesem Falle definiert durch

A ( x ) = f 2 ( x ) + ( R 1 f ( x ) ) 2 + … … + ( R d f ( x ) ) 2 , {\displaystyle A(x)={\sqrt {f^{2}(x)+(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},}

der lokale Phasenwinkel α α {\displaystyle \alpha } durch

α α ( x ) = | atan2 ⁡ ⁡ ( ( R 1 f ( x ) ) 2 + … … + ( R d f ( x ) ) 2 , f ) | , {\displaystyle \alpha (x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|,}

die lokale Phasenrichtung u {\displaystyle u} durch

u ( x ) = ( R 1 f ( x ) , … … , R d f ( x ) ) ( R 1 f ( x ) ) 2 + … … + ( R d f ( x ) ) 2 {\displaystyle u(x)={\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}}

und die lokale Phase ϕ ϕ {\displaystyle \phi } durch

ϕ ϕ ( x ) = α α ( x ) u ( x ) = | atan2 ⁡ ⁡ ( ( R 1 f ( x ) ) 2 + … … + ( R d f ( x ) ) 2 , f ) | ( R 1 f ( x ) , … … , R d f ( x ) ) ( R 1 f ( x ) ) 2 + … … + ( R d f ( x ) ) 2 . {\displaystyle \phi (x)=\alpha (x)u(x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|{\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}.}

Fasst man die Funktion f {\displaystyle f} als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

• Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.

• Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.

• M. Felsberg, G. Sommer: The monogenic signal. In: IEEE Transactions on Signal Processing. Band 49, Nr. 12, 2001, S. 3136–3144.

• S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster: Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform. In: IEEE Transactions on Image Processing. Band 19, Nr. 3, 2010, S. 653–667.

Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis

• Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ, Technische Universität München

• MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images EPF Lausanne